Должны ли родители контролировать выбор профессии ребенка? На каком этапе родители должны «отпускать» ребенка в профессию?

Я бы сказала не контролировать, а помочь сориентироваться.
Лет до 10 дети обычно сами с этим вопросом не серьезны. Потому рассказывать о выбранной профессии можно, но всерьез настраиваться не стоит.
Ближе к 12, с переходом в среднюю школу, дети начинают уже более серьезно присматриваться. Тут стоит рекомендовать обратить внимание на те предметы, которые понадобится изучить глубже для этой профессии, какими навыками обладать ..
Т.е. Тут напрямую родители не отговаривают, но если ребенок решил стать врачом, а с биологией полный швах и настроения ее вытягивать не имеет, то после разговора о необходимых навыках, он сам начнет искать что-то более соответствующие его предпочтениям в учебе.
___
Косвенное влияние конечно оказывается и это нормально.

Обязательно. При этом основное правило: только поддерживать, какую бы профессию не выбрал ребёнок. Ни в коем случае не критиковать и не подсовывать свою. До 7-8 лет - играть с ним в неё, с 8 до 12 стараться организовать ему реальное знакомство или практику, с 12 обязательно разбирать реальные кейсы и строить планы лет до 30.

Мне кажется, родитель может подсказать, рассказать о плюсах и минусах профессий, который предложит ребенок. Но никогда не "приводить за ручку" учиться на ту "престижную" профессию. Потому что ребенок не будет понимать для чего ему это и будет учиться без интереса. Цена тотального контроля: не состоявшийся человек, который будет искать себя дальше