Инжир — это фрукт или ягода?

Ни то и не другое.

С точки зрения ботаники, ягодой является плод, в котором семена и мякоть плода развиваются из одной завязи (цветка); фруктом - сочный плод дерева или кустарника, который является созревшей завязью (одной).

А съедобная часть инжира - это группа созревших цветков, каждый из которых завязывался сам по себе. Так что если подходить к вопросу формально, его следует называть соплодием.

А в быту - считайте его тем, чем удобнее.

Изначально — это фикус. Просто люди его культивируют как дерево, несущее плоды, — собственно, тот инжир, который мы привыкли упортреблять в пищу. Но в строгом смысле плоды инжира — это соцветия. Хотя одно из распространённых названий — «винная ягода». Поэтому люди путаются.