Как работают кредиты с выплатами?

Обычно есть некоторый оговоренный период в который начисляются проценты и, также, происходит выплата. Обычно эти периоды совпадают.

Выплата называется обычно амортизацией, а кредит называется амортизированным кредитом.

Выплаты рассчитываются так, чтобы к концу срока кредитования (через n лет в условии задачи) заемщик уже ничего не должен был бы кредитору.

С вашего позволения, я буду под k подразумевать не количество процентов, а уже саму долю, то есть если в условиях задачи было 30%, то я буду под k подразумевать 0.3; если 2%, то 0.02 и так далее.

Первый год:

Вы должны S
Вам начисляют проценты: kS
Вы выплачиваете A
Остаетесь должны S+kS-A=(1+k)S-A

Второй год:

Вы должны (1+k)S-A
Вам начисляют проценты: k((1+k)S-A)
Вы выплачиваете A
Остаетесь должны (1+k)((1+k)S-A)-A=
S(1+k)^2-A(1+(1+k))

Третий год:

Вы должны S(1+k)^2-A(1+(1+k))
Вам начисляют проценты: k(S(1+k)^2-(A+(1+k)A))
Вы выплачиваете A
Остаетесь должны (1+k)(S(1+k)^2-(A+(1+k)A))-A=
S(1+k)^3-A(1+(1+k)+(1+k)^2)

и так далее

n-тый год:

Вы должны S(1+k)^{n-1}-A(1+(1+k)+....+(1+k)^{n-2})
Вам начисляют проценты: k(S(1+k)^{n-1}-A(1+(1+k)+....+(1+k)^{n-2}))
Вы выплачиваете A
Остаетесь должны 0

При этом

0=S(1+k)^n-A(1+(1+k)+....+(1+k)^{n-1})

Если k=0 (беспроцентный кредит), то получем очевидный ответ S=nA,

Если k не равно 0, то можем воспользоваться формулой геометрической прогрессии для 1+(1+k)+....+(1+k)^{n-1} и получить

((1+k)^n - 1)/(1+k-1)=((1+k)^n - 1)/k.

Выразим ежемесячный платеж A через S, n и k - получим

A=kS(1+k)^n / ((1+k)^n -1)

   kS(1+k)^n          kS                  kS
A=------------ = ---------------- = --------------
  ((1+k)^n -1)   (1 -(1/(1+k))^n)   (        1     )
                                    (1  - -------- )
                                    (      (1+k)^n )

Это величина амортизации.

Общий объем ваших выплат составит nA, то есть

knS(1+k)^n / ((1+k)^n -1)

     knS
--------------- 
(        1     )
(1  - -------- )
(      (1+k)^n )

Если k все-таки процент, а не доля, то, соотвественно нужно заменить k на k/100

     knS/100
-------------------- 
(            1     )
(1  - -------------)
(      (1+k/100)^n )

Давайте ещё усложним предыдущий вопрос, добавив в него правило рассчета, что проценты и выплаты производятся m раз в год.

Какие есть основные варианты постепенного погашения кредита выплатами и как мне рассчитать, сколько я заплачу, если возьму S тысяч рублей под k процентов годовых на n лет?