Почему делить на 0 нельзя?
На ноль делить просто смысла нет))
Я над этим вопросом размышляю уже 12 лет, с первого класса. Тогда мне сказали, что на ноль делить нельзя. А я: почему? Объясните. Класс смеется, подхихикивает. Сказали нет, значит нет. Прими как истину и не тупи.
Но я пошла дальше и начала размышлять. А действительно. Почему? В итоге разобралась в правилах деления. Правила математической игры достаточно логичны. Например, вычитание- обратный процесс к сложению. Деление - обратный процесс к умножению.
А теперь примеры:
2*4=8
2*8=16
2*1=2
Видим, что все понятно. Если делить, то получится следующее:
8/2=4, 8/4=2
16/8=2, 16/2=8
2/1=2, 2/2=1
Можно взять и другие примеры, сути это не изменит. Но что будет, если появится 0?
2*0=0
3*0=0
1*0=0 (=!1)
Все понятно. Ну и что, что произведение одинаковое получается. Это вроде бы не сильно смущает.. Но только на первый взгляд.
Что будет, если поделить?
0/3=0, 0/2=1, 0/1=0
А если на второй множитель из примеров выше делить?
(то есть на ноль)
0/0=либо1, либо2, либо 3
Здесь уже непонятки. В матанализе, в разделе приделов это изучается более глубоко. Там тоже делить на ноль нельзя (нет смысла), но можно делить в пределе. Например, делить на 0, 0000000000000....00001 )))
Так. А как же тогда может появиться конструкция вида 8/0=? Никак. Помним, что деление - обратная функция к умножению. Следовательно, если нет умножения вида ?*0=8, то не существует и деления.
Сначала простое объяснение, а после - интересное и более строгое.
Простенький примерчик: 0 = 0·2 и 0 = 0·3
Несложно выразить 2 и 3: 2 = 0/0 и 3 = 0/0 => 2 = 3, что, конечно, является абсурдом. Ноль на ноль поделить мы не можем, так как может выйти всё, что угодно. (Ниже будет страшное объяснение на примере)
Окей, теперь поделим 1 (аналогично любое конечное число) на 0 (и пусть этот результат будет тоже конечным числом): х = 1/0 => 1 = х·0 = 0 => 1 = 0. Тоже абсурд. А вот если мы хотим посмотреть, что будет при х = ±∞, то читаем ответ дальше. (И см. сноску **)
А теперь давайте поиздеваемся над своим сознанием и заглянем в огород математического анализа.
Введем функцию f(x) = λ/x, где λ ∈ ℝ\{0}
Взглянем на её поведение в окрестности нуля. А взглянем так: найдем правый и левый пределы в нуле.
Предел при х стремящемся к нулю справа (х -> 0+0) равен +∞, а вот при стремлении к нулю слева (х -> 0-0) предел равен -∞.
(На графике видно, что пределы действительно равны ±∞. Графики построены для разных значений λ).
Из неравенства пределов получаем, что общего предела в точке 0 у нашей функции нет - то есть числа (символа), равного λ деленному на 0, попросту не существует. Отсутствие предела можно доказать и иначе (суть та же, но доказательство чуть более строгое на вид. См. сноску *)
Окей, разобрались с λ≠0. А что если мы ноль на ноль поделим?
Введем ф-ции φ(x) = sin(x)/x и ψ(x) = 0/x
φ(x) -> 1 (x -> 0). Это первый замечательный предел, если интересен вывод, то можно найти на той же википедии.
Найдем односторонние пределы ψ(х) в т. 0:
ψ(х) -> 0 (х -> 0+0)
ψ(х) -> 0 (х -> 0-0)
Эти пределы равны, а значит существует общий предел, и он равен 0.
А теперь заметим, что 1 = limφ(x) ≠ limψ(x) = 0 (при х -> 0), каждая из функций в нуле представляет собой выражение 0/0, но равняется разным числам.
(Красная линия - график φ(х), синяя - ψ(х))
Мораль сей басни такова: если мы делим ненулевое число на ноль, то результат у нас неопределен, так как при стремлении к нулю с разных сторон ответ будет разным.
Если мы ноль делим на ноль, то у нас ответ будет зависеть от конкретной ситуации (в одном месте мы получим 1, в другом 0, а в третьем и вообще что-то вроде (π-1)⁴/е²³)
__
*. Другой способ показать, что предела в т. 0 у f(x) = λ/x нет.
Возьмем две последовательности Гейне Хn' = 1/n и Xn'' = -1/n. Обе они сходятся к 0, т.к. ∀ε>0 ∃N | ∀n ≥ N |Xn'| < ε и ∀ε>0 ∃N | ∀n ≥ N |Xn''| < ε
f(Xn') сходится к +∞, а f(Xn'') - к -∞. Так как пределы разные, то не выполняется определение предела по Гейне, а значит нет предела и в смысле Коши.
**. Те, кто говорят, что при делении 1 (аналогично, любого конечного числа) на ноль получается бесконечность руководствуются обычно следующим алгоритмом: 1/0.1 < 1/0.01 < 1/0.001 ... По сути считают правый предел) Но ведь есть и левый: 1/(-0.1) > 1/(-0.01) > 1/(-0.001) ...