Как изобрести что-то принципиально новое в математике, алгебре, геометрии, арифметике?

Не так сложно изобрести, как найти достойное применение. Это типа изобретение квадратных колес в механике. На ровной дороге они только людей смешить будут, но по бездорожью - по болотам и в воде - могут оказать помощь. Даже квадратные отверстия умельцы научились сверлить. Гениальность нужна не столько для изобретения чего-то принципиально нового, сколько для сравнительно простых решений очень сложных задач. Но для таких решений, как правило, требуется принципиально новый подход, принципиально новое видение.

Нужно учиться, освоить современную математику. Заняться современными и интересными задачами, ну и тогда -- возможно удастся привнести что-то новое в современную науку.

Если совсем коротко: работать, работать и ещё раз работать.

Можно открыть подход, который позволит решить проблему изобретательно. Пеано прекрасно закрасил кривой квадрат на плоскости, когда сталкиваешься с чужой изобретательностью, порой кажется, никто другой ничего подобного бы не открыл.

Если бы я знал, как вот так выпендриться и сделать что-то простое, в двух словах понятное аудитории Q, сделал бы сам. Наверное, не я один поступил бы так.

Но главное, не могу понять, почему нужно именно принципиально новое, а не, скажем, максимально полезное людям. Может быть, дело в том, что ухаживать за клумбой уже надоело?

Если бы я (и не только) знал ответ на этот вопрос, то в математике исчезла возможность развиваться и закончилась. Тем самым, имеем противоречие и следовательно ответ на этот на этот вопрос отсутствует…

По законам РФ - никак. Ибо не являются объектами имущественного права:

алгоритмы, правила и методы игр, языки программирования, математические методы, способы осуществления мыслительных операций;