Теория узлов очень тесно связана с топологическими квантовыми компьютерами. Они представляют собой один из вариантов (теоретически возможного, но на практике не реализованного) вычислительного устройства, крайне интересного математически тем, что оно фундаментально сильнее классических компьютеров, т.к. позволяет решать некоторые задачи, на классических компьютерах требующие экспоненциально большого перебора вариантов. Самым широко известным классом таких задач является способность взламывать некоторые классы шифров, а самым практически значимым - возможность прямого моделирования физических и химических свойств материалов, веществ и реакций между ними, выводя их прямо из стандартной модели элементарных частиц. Сейчас на существующих компьютерах делать это запретительно сложно вычислительно как раз из-за экспоненциального взрыва числа вариантов.
Не вдаваясь глубоко в физику процесса, можно сформулировать главную проблему в создании квантовых компьютеров так: его часть, осуществляющую непосредственные вычисления, нужно как можно лучше изолировать от окружающей среды, то есть держать в глубоком вакууме при температуре, как можно более близкой к абсолютному нулю, и в то же время за очень короткое время, в течение которого её работоспособность не разрушается, "выдавать указания" этой части и "снимать показания". Топологические квантовые компьютеры лучше других подходов в том, что состояния части, осуществляющей непосредственные вычисления, кодируются как один из нескольких узлов, при этом законы физики запрещают траекториям частиц, составляющих этот узел, пересекаться. То есть слабые возмущения уже не препятствуют работе, для этого нужны более серьезные (аналогия: для разрушения узла его бесполезно "шевелить", нужно рвать).
С точки зрения computer science вычислительно топологические квантовые компьютеры аналогичны другим универсальным типам к.к. (то есть одни можно эмулировать с помощью других и наоборот), но некоторые задачи для топологических к.к. более естественны, и это как раз задачи теории узлов, например, вычисление многочлена Джонса.