Как бы, немного наоборот. Действительно, результаты построений циркулем и линейкой могут быть описаны корнями многочленов с рациональными коэффициентами.
Однако, алгебраические числа, по определению, являются конями многочленов с алгебраическими коэффициентами.
Трансцендентность (не алгебраичность) числа π была показана Линдеманом в 1882 году, смотрите:
А доказательство невозможности квадратуры круга уже основывается на доказательстве трансцендентности числа π. Если число π не является корнем полиномов с алгебраическими числами, то тем более оно не является корнем полиномов с рациональными коэффициентами и, поэтому, √π не может быть построено циркулем и линейкой.