На какую цифру оканчивается число 777 в степени 777?

Ответ так-то есть на вашей картинке: нужно посмотреть, как ведут себя последние цифры при возведении в степень числа 7. Нам важна только последняя цифра, потому что только она влияет на последнюю цифру следующего числа в степенном ряду.

777^1 = ...7

777^2 = ...9

777^3 = ...3

777^4 = ...1

777^5 = ...7

Итак, последняя цифра повторяется через 4 шага, начиная с 1. То есть, остаток от деления на 4 степени числа будет показывать, какая у него будет последняя цифра.

777 % 4 = 1 (остаток от деления числа 777 на 4 равен 1)

Смотрим в нашу табличку последней цифры: при остатке от деления на 4 равном 1 наше число будет заканчиваться на цифру 7.

Для убедительности закинул ваш вопрос в WolframAlpha, там тоже последняя цифра — 7.

В качестве упражнения можете попробовать доказать, что последние цифры степеней циклически повторяются. Доказывать рекомендую от противного, нужно придумать шаг, на котором всё сломалось, глянуть на предыдущий и сделать какой-то вывод.