Допустим,что выпуклый многоугольник S разрезан на невыпуклые четырехугольники S1,..., Sn.Каждому многоугольнику T поставим в соответствие число psi(T), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180 град., и суммой углов, дополняющих до 360 град. его углы, большие 180 град.
Проанализируем величины X = psi(S) и Y = psi(S1)+...+psi(Sn).
Рассмотрим теперь все точки, являющиеся вершинами четырехугольников S1,..., Sn , их всего четыре типа.
Первый) Вершины многоугольника S. Эти точки дают одинаковые увеличения для X и Y.
Второй) Точки на сторонах многоугольника S или Si. Каждая такая точка увеличивает Y на 180 град. больше чем X.
Третий) Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырехугольников, меньшие 180 град. Каждая такая точка увеличивает Y на 360 град. больше чем X.
Четвертый) Внутренние точки многоугольника S, в которых сходятся углы четырехугольников, причем один из них больше 180 град.Такие точки дают нулевые увеличения и для X и для Y.
Тогда получаем X =< Y. Теперь докажем что на самом деле X > 0, а Y = 0. Неравенство X > 0 очевидно, а для доказательства равенства Y = 0 достаточно проверить, что если T — невыпуклый четырехугольник, то psi(T) = 0. Пусть углы T равны A >= B >= C >= D.
У любого невыпуклого четырехугольника ровно один угол больше 180 град, то есть psi(T) = B + C + D - (360 град. - A) = A + B + C + D - 360 град. = 0 град. Приходим к противоречию, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечноечисло невыпуклых четырехугольников.
Доказываю!.