Если математика окажется противоречивой, сможем ли мы понять, какие из аксиом "конфликтуют" между собой?

Что значит: «<...> математика окажется противоречивой <...>». От случая к случаю лучше конкретизировать область, раздел, направление математики, т. к. противоречивость — свойство конкретной логической системы, конкретнее — свойство некоторого набора аксиом, с которыми парой идут правила вывода, алфавит.

Всё таки противоречия возникают в логических системах. В системе будет противоречие, если мы обнаружили утверждение вида «A и не-A». Это может возникнуть, если в самой аксиоматике содержаться аксиомы, которые имеют форму «A и не-A». Либо в результате вывода теорем могут возникнуть противоречивые утверждения. И «<...> понять, какие из аксиом "конфликтуют" между собой <...>» можно будет, если мы имеем вывод данных противоречивых теорем.

Обычно противоречивость доказывается именно указанием на противоречие.

При этом можно сказать, что противоречие заключено в подсистеме аксиом, использованных при выводе этих примеров (часть аксиом могла не использоваться, тогда круг конфликтующих аксиом сужается, но не ясно, можно ли его сузить ещё больше).