Если математика окажется противоречивой, сможем ли мы понять, какие из аксиом "конфликтуют" между собой?

Аксиомы не могут конфликтовать. Это некая постулированная система, на которой строятся доказательства, и она не должна быть избыточной. Насколько мне известно, могут возникать различные парадоксы. Тогда математики накладывают ограничения на трактовку аксиом, или возникают разные аксиоматики, которые стремятся свести к нулю число противоречий.
Например в "наивной" аксиоматике теории множеств возник парадокс Рассела. Далее возникали парадоксы, связанные с аксиомой выбора (удвоение Шара, если разбить шар на куски с бесконечной площадью поверхности).
Сейчас общепринятой системой является аксиоматика Цермело-Френкеля, так как она дает наименьшее количество парадоксов.
Вот что так же удалось найти:
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B

Обычно противоречивость доказывается именно указанием на противоречие.

При этом можно сказать, что противоречие заключено в подсистеме аксиом, использованных при выводе этих примеров (часть аксиом могла не использоваться, тогда круг конфликтующих аксиом сужается, но не ясно, можно ли его сузить ещё больше).