Можно ли заполнить кривой плоскую фигуру целиком?

В 1890 Пеано открыл непрерывную кривую, ныне называемую кривой Пеано, которая проходит через любую точку единичного квадрата. Его целью было построение непрерывного отображения из единичного отрезка в единичный квадрат. Заняться проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Георга Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек любого конечномерного многообразия, в частности, единичного квадрата. Задача, которую решал Пеано, заключалась в вопросе — может ли быть такое отображение непрерывным, то есть может ли кривая заполнить пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывное взаимнооднозначное отображение между единичным интервалом и единичным квадратом, и более того, такого отображения не существует

Большинство хорошо известных заполняющих пространство кривых строятся итеративно как предел последовательности кусочно линейных непрерывных кривых, которые на каждом шаге приближаются к заполняющей пространство кривой.

Годом позже Давид Гильберт опубликовал в том же журнале другой вариант построения Пеано. Статья Гильберта была первой статьёй, в которой был помещен рисунок, помогающий представить технику построения. По существу, это был тот же рисунок, что и приведённый здесь. Аналитическая форма кривой Гильберта, однако, существенно сложнее, чем у Пеано.

Кривая Гильберта (известная также как заполняющая пространство кривая Гильберта) — это непрерывная фрактальная заполняющая пространство кривая, впервые описанная немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году как вариант заполняющих пространство кривых Пеано, открытых итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1890 году. Поскольку кривая заполняет плоскость, её размерность Хаусдорфа равна 2 (в точности, её образ является единичным квадратом, размерность которого равна 2 при любом определении размерности, а её граф является компактным множеством, гомеоморфным замкнутому единичному интервалу с хаусдорфовой размерностью 2). Как истинная кривая Гильберта, так и её дискретная аппроксимация дают отображение одномерного и двумерного пространств, довольно хорошо сохраняющих локальные свойства. Если обозначить через (x, y) координаты точки в единичном квадрате, а через d расстояние вдоль кривой, на котором эта точка достигается, то точки,имеющие близкие к d значения, будут иметь также близкие значения и к (x, y). Обратное не всегда верно — некоторые точки, имеющие близкие координаты (x, y), имеют достаточно большую разницу в расстоянии d.