Под методом Гаусса могут подразумевать разные методы из разных областей математики. Однако, если этого не уточняется, то обычно под методом Гаусса подразумевают метод решения систем линейных уравнений (в алгебре).
Суть метода состоит в последовательном исключении переменных в системе, используя равносильные элементарные преобразования.
Сам метод:
- Записать систему в матричном виде Ax=b. Здесь А – матрица, составленная из коэффициентов при переменных (основная матрица системы), х – столбец переменных (х1, х2,...), b – столбец свободных членов. Саму матрицу удобно записать в виде (А|b).
- Используя элементарные преобразования (такие как: перестановка местами любых двух строк; умножение любой строки на ненулевое число (ненулевой элемент поля); прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число (ненулевой эликнт поля)), привести матрицу к ступенчатому виду (под коэффициентами, для которых совпадают номер строки и столбца в матрице, должны остаться нули). При этом, если в процессе преобразований в одной из новых систем встретимся противоречивое уравнение, то исходная система несовместна (не имеет решений). Иначе переходим к п. 3.
- По виду ступенчатой системы уравнений определить, сколько решений имеет исходная система. Если система имеет бесконечное число решений, то говорят о главных и свободных неизвестных. Тогда записывают как главные неизвестные выражаются через свободные, получая тем самым, общее решение системы линейных уравнений. Придавая конкретные значения свободным переменным, будем получать частные решения исходной системы.
Метод Гаусса обладает рядом преимуществ:
– для систем уравнений небольших размеров, метод сравнительно менее трудоёмкий;
–метод позволяет однозначно определить, совместна ли система или нет, и если совместна, то найти её решение;
–позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений в системе (ранг матрицы системы).