Обозначим s^2=n, q^3=m, s+q=k (k, n, m целые числа). Докажем, что s и q в этом случае тоже целые.
n - квадрат, поэтому n>=0. Кроме того, если n = 0, то и s = 0 и q = k, поэтому будем рассматривать только случай n>0.
Тогда m = q^3 = (k-s)^3 = k^3 - 3 * k^2 * s + 3 * k *s^2 - s^3 = k^3 - 3 * k^2 * s + 3 * k * n - n * s = (k^3+3*k*n) - s * (n + 3 * k^2).
Итак, s * (n + 3 * k^2) = (k^3+3*k*n - m), то есть s * A = B, где A положительное целое число (сумма n и неотрицательного слагаемого), а B - целое число. Отсюда следует, что s рациональное число, являющееся при этом корнем целого числа, то есть s, а значит, и q целые числа.