Какой раздел математики можно назвать самым красивым?

В математике дифференциальная топология - это область, изучающая топологические свойства и гладкие свойства гладких многообразий. В этом смысле дифференциальная топология отличается от тесно связанной области дифференциальной геометрии, которая касается геометрических свойств гладких многообразий, включая понятия размера, расстояния и жесткой формы. Для сравнения, дифференциальная топология связана с более грубыми свойствами, такими как количество дырок в многообразии, его гомотопический тип или топология его группы диффеоморфизмов. Поскольку многие из этих более грубых свойств можно уловить алгебраически, дифференциальная топология имеет сильные связи с алгебраической топологией.

Центральной целью области дифференциальной топологии является классификация всех гладких многообразий с точностью до диффеоморфизма. Поскольку размерность является инвариантом гладких многообразий с точностью до типа диффеоморфизма, эту классификацию часто изучают, классифицируя (связные) многообразия в каждой размерности отдельно:

В размерности 1 единственными гладкими многообразиями с точностью до диффеоморфизма являются окружность, прямая вещественного числа, а также граница, полузакрытый интервал [0,1) и полностью замкнутый интервал [0,1].

В размерности 2 каждая замкнутая поверхность классифицируется с точностью до диффеоморфизма по своему роду, количеству дырок (или, что эквивалентно, по эйлеровой характеристике), а также по тому, ориентируема она или нет. Это знаменитая классификация замкнутых поверхностей. Уже в размерности два классификация некомпактных поверхностей становится сложной из-за существования экзотических пространств, таких как лестница Якоба.

В размерности 3 гипотеза Уильяма Терстона о геометризации, доказанная Григорием Перельманом, дает частичную классификацию компактных трехмерных многообразий. В эту теорему включена гипотеза Пуанкаре, которая утверждает, что любое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно (и фактически диффеоморфно) трехмерной сфере.

Дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, для определения которых требуется только гладкая структура на многообразии. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут действовать как препятствия для определенных типов эквивалентностей и деформаций, существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сгладить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться исказить пространство и повлиять на кривизну или объем. [Цитата нужный]

С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические. Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы имеют более одной гладкой структуры - см. Экзотическая сфера и теорему Дональдсона. Мишель Кервер показал топологические многообразия без гладкой структуры. Некоторые конструкции теории гладких многообразий, такие как существование касательных расслоений ,могут быть выполнены в топологической обстановке с гораздо большим объемом работы, а другие - нет. Одной из основных тем в дифференциальной топологии является изучение специальных видов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и субмерсий, а также пересечений подмногообразий через трансверсальность. В более общем плане интересуются свойствами и инвариантами гладких многообразий, которые переносятся диффеоморфизмами, другим специальным видом гладких отображений. Теория Морса - еще одна ветвь дифференциальной топологии, в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений ранга якобиана функции.

Источник : Википедия

Я считаю, что самый красивый раздел математики - геометрия, потому как геометрия изучает пространственные отношения и формы, среди которых различные додекаэдры, икосаэдры, пентеракты, гептеракты. Также можно выделить красоту фракталов, множеств Жюлиа и Мандельброта.

Здравствуйте ! что касается "Красоты", обыденный смысл , бытовой , сразу исключается , в первую очередь научным смыслом , "Красота" относится к эстетике , т.е. она сразу наука , если бы её изучать просто так , и были бы результаты , тогда другое дело.У каждого крупного философа есть статьи по эстетике. )))