Какая математическая задача с элементарным решением оставалась нерешенной в течение самого длительного периода?

Выберите номер. Вы выбрали 6 ? Хорошо. А теперь вопрос к вам:

Сможете ли вы найти прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью 6 ?

Простой вопрос, правда? Прямоугольный треугольник - это треугольник с прямым углом. «Рациональные стороны» означают, что стороны имеют рациональную длину. Вот пример прямоугольного треугольника с рациональными сторонами (на самом деле, целые стороны, но целые числа квалифицируются как рациональные числа) 3,4,5

=======================

Вы выбрали 5. Есть ли прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью 5?

Ответ тоже «Да», но найти правильный (ха-ха) треугольник не так-то просто. Вот:

Такие числа, как 5 и 6, которые представляют собой прямоугольные треугольники с рациональными сторонами, называются конгруэнтными числами. В арабской рукописи, написанной не позднее 972 года нашей эры, предлагается способ определить, соответствует ли данное число конгруэнтности (первоначальная формулировка была немного другой, но свойство эквивалентно тому, что мы только что описали).

Оказывается, 1, 2, 3 и 4 не совпадают, а 5, 6 и 7 совпадают. Мы можем построить последовательность совпадающих чисел, как это делали арабы в 10 веке, и мы можем задаться вопросом, что с этим делать. Какая картина?

Вопрос: Как узнать, конгруэнтно ли число?

Этот вопрос стоял более 1000 лет, и теперь он решен (почти),

и решение является элементарным (вот только его доказательство далеко от этого) . Например, есть прямоугольный треугольник со сторонами 9,40,41, потому что 9^2 + 40^2 = 41^2. Площадь этого треугольника равна 180, что составляет 5×6^2. Таким образом, мы можем разделить края на 6 и получить треугольник площадью 5. Это тот же треугольник, на который мы только что смотрели. Таким образом, мы можем методично сгенерировать все треугольники с целыми сторонами, а затем найти все области, которые каждый из них поддерживает, после возможного деления на некоторый общий знаменатель. Почему это не подходящий алгоритм?

Проблема в том, что этот алгоритм в конечном итоге сгенерирует все совпадающие числа, но не по порядку. Поэтому, если вы рассматриваете конкретный номер кандидата, вы не представляете, сколько времени вам может понадобиться ждать, пока он появится. Если он появится - отлично: это соответствует. Если это еще не произошло, вы не знаете, следует ли вам сдаваться (потому что ваше число не совпадает) или вам просто нужно немного больше терпения.

Я немного сказал? Рассмотрим число 157. Соответствует ли оно? Мы можем начать генерировать триплеты Пифагора и дождаться одного с площадью, которая в 157 раз больше квадрата. Мы генерируем и ждем, ждем и генерируем, и в конце концов мы умираем, думая, что определенно 157 несовместимы. Но это не так. А знаете ли вы, какую длину гипотенузы целочисленного треугольника вам нужно выяснить? Это 224403517704336969924557513090674863160948472041. Я даже не шучу. Это именно то. Этот номер состоит из 48 цифр. Вам придется прожить миллиарды лет, пока ваш суперкомпьютер не найдет его.

Различие между алгоритмом, который генерирует все числа с определенным свойством, и алгоритмом, который проверяет, обладает ли данное число этим свойством, очень велико. Это разница между «рекурсивно перечисляемыми» последовательностями и «рекурсивными» или «вычислимыми» последовательностями. Это одно из самых фундаментальных определений в логике и теории вычислимости.

Итак, вопрос, заданный арабскими учеными в 972 году нашей эры (или ранее), прост: вычислимо ли множество конгруэнтных чисел? И если да, то каков метод проверки за конечное время, конгруэнтно ли число?

Ответ был (почти) найден Джеррольдом Б. Таннеллом в 1983 году. Это произошло как минимум через 1011 лет после того, как проблема была сформулирована. Его ответ таков:

Здесь x, y, z - целые числа. Аналогичное условие доступно для четных чисел, а «бесквадратная» часть является чисто технической: числа n и n*d^2 либо оба совпадают, либо оба нет, поэтому вы всегда можете удалить квадраты из числа.

================================

Сделаем несколько комментариев.

===============================

Во-первых, это странное заявление о количестве решений потрясающе, потому что его можно легко проверить за конечное время. Дело в том, что все x^2, y^2 и z^2 положительны, поэтому есть только конечное число кандидатов для проверки. Если бы у нас были третьи силы, например, все было бы очень мрачно; например, никто не знает, является ли 114 суммой трех кубиков целых чисел. А вот с квадратами все просто. Просто проверьте все x, y, z, которые лежат между 0 и √n, и все готово.

==============================

Во-вторых, мы должны согласиться с тем, что этот критерий конгруэнтности настолько же элементарен, насколько и они. Его может проверить вручную 10-летний ребенок, который разбирается в сложении и умножении. Фактический алгоритм, который отвечает на вопрос, поставленный в 972 году, полностью элементарен.

=============================

В-третьих, утверждение Таннелла еще полностью не доказано. Это первый способ, которым я лгу, говоря, что у меня есть пример давней проблемы с элементарным решением: проблема еще не решена. Если n конгруэнтно, то мы точно знаем, что n удовлетворяет условию на количество решений. Но другое направление, заключающееся в том, что n конгруэнтно, если условие выполняется, зависит от частного случая гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера, и эта гипотеза и даже этот частный случай до сих пор не решены. Так что условие Таннелла в принципе может оказаться ложным, но это крайне маловероятно.

Наконец, и это второй способ, которым я лгу сквозь зубы, когда называю это «элементарным решением»: доказательство теоремы Таннелла (ее части, которые мы действительно умеем доказывать) очень, очень, очень далеко не элементарно. Заключение доказательства элементарно, а само доказательство - нет.

Посредством последовательности элементарных преобразований свойство конгруэнтности n можно преобразовать к вопросу о том, имеет ли уравнение y^2 = x^3 − n^2*x бесконечно много решений или, другими словами, имеет ли соответствующая эллиптическая кривая положительный ранг. Примечательно, что эта древняя проблема, которая на поверхности не имеет ничего общего с эллиптическими кривыми, может быть очень эффективно сведена к проблеме об эллиптических кривых - во многом подобно другой известной старой проблеме, Великой теореме Ферма.

==============================

Джон Коутс написал замечательный обзор проблемы конгруэнтных чисел. Более полное описание доказательства Таннелла и математики, которая в него вошла, можно найти в настоятельно рекомендованной книге Нила Коблитца «Введение в эллиптические кривые и модульные формы». Вы должны получить эту книгу. На фронтисписе этой книги изображена картина Анатолия Фоменко, изображающая семейство эллиптических кривых, изученных Таннеллом.

Если Я допустил какие-либо ошибки перевода то

Источник https://www.quora.com/What-math-problem-with-an-elementary-solution-was-unsolved-for-the-longest-period

Дата 18.08.2020

Смотря, что такое элементарное решение.
Кубические уравнения и уравнения четвертой степени очень долго не могли решать, например. Но там важно было сделать важные допущения.

Нахождение всех квадрируемых луночек заняло тоже существееное время. Но доказательство, что больше луночек нет - не элементарное.

Насколько элементарно открытие Лобачевского? Но не могли решить две тысячи лет.

Теорема Ферма.Думаю, что доказательство этой теоремы на самом деле основывалось на элементарных знаниях, которые пришлось или удалось раскрыть в 1994г.

Эта "задачка" была решена очень, очень давно. В Индии и Вавилоне.

Даже в древнем Египте кандидатам в жрецы предъявляли эту задачку. Реши, будешь жрецом, нет, значит будешь рабом.

А вы говорите, Гаусс, шмаус.

Вся европейская математика это обычный плагиат......:-)))