Правильный ответ уже дан, но я хотел бы обратить внимание на некоторые дополнительные аспекты. Некоторые заметки к, т.с., "размышлению".
Если у нас есть степень вида a/b , то её можно представить в виде a * (1/b): то есть, числитель умножить на знаменатель (или на число, обратное числу, написанному в знаменателе).
И с числителем, допустим, всё понятно: это просто возведение в степень и всё.
А вот по поводу знаменателя всегда будут начинаться "танцы с бубном".
Прежде всего, надо определиться, с какими числами мы работаем в основании дроби: R или C. Если речь об R, то я стою на формалистских позициях неопределенности результата операции для меньших нуля оснований.
Классический пример. Допустим, мы разрешаем запись (-8)^(1/3) . Но мы же договорились, что показатели должны обладать всеми свойствами обыкновенных дробей. То есть, записи (-8)^(1/3) и (-8)^(2/6) должны быть эквивалентны.
Но в первом случае мы получаем результат -2 , а во втором случае результат +2 . В разных учебниках есть два подхода: либо для записи степеней в виде дроби полностью запрещать отрицательные основания, либо отрицательные основания разрешать, но запрещать дробному показателю быть сокращаемой обыкновенной дробью и обязательно досчитывать показатель до дроби несокращаемой.
Далее, нам надо определиться, что такое, в принципе, степень с дробным показателем. Для простоты примем, что мы работаем исключительно с неотрицательным основанием. Т.е., основаниями R_[>=0] .
Если дробный показатель есть Q, тогда годится наивное определение такой операции: числитель дроби есть возведение в целую степень как гипероперация относительно операции умножения, знаменатель — извлечение соответствующего корня.
А вот если дробный показатель у нас R (как бесконечная десятичная дробь), то здесь всё гораздо сложнее, прежде всего, с самим определением такой операции. Что такое a^π или, например, b^cbrt(5) ?
Для этого надо вспомнить определение возведения в степень с действительным показателем. Проблема в том, что таких определений несколько. В IEEE для чисел с плавающим десятичным разделителем (и предполагается, что для, собственно, действительных, приближаемых такими числами) установлено, что a^b = exp (b^log(a)) , где log() — это натуральный логарифм. То есть, сначала в рамках курса интегрального исчисления мы определяем спецфункцию натурального логарифма как интеграл от 1/x , затем обратную ей функцию exp() и уже затем через экспоненту и натуральный логарифм определяем операцию возведения в степень с действительным показателем.
Второе определение возведения в степень, это предел последовательности рациональных приближений десятичных расширений. Т.е., на бытовом языке. Что такое a^sqrt(2)?
- Это число между a^1,4 и a^1,5
- Это число между a^1,41 и a^1,42
- Это число между a^1,414 и a^1,415
...
"и так до бесконечности"
То есть, результат бесконечной операции приближения, гипотетически выполняемой бесконечное время при бесконечном объёме памяти и бесконечных ресурсах центрального процессора.
Теперь к вопросу о том, как всё это, в принципе, считать. Сама идея степеней с дробным показателем появилась, примерно, в одно время с идеей, собственно, логарифма. Так что, в общем случае, считать через логарифм.
a^b → log(a^b) = b * (log(a)) , где log() — натуральный логарифм. Логарифм может быть выбран и по любому другому удобному основанию (двоичный, десятичный и т.д.).
Конечно, логарифм тоже можно обсчитывать вручную через численные методы или менее точным графическим способом, но в итоге его стали считать через специальные логарифмические таблицы и логарифмические линейки, затем эту задачи передали арифмометрам и, наконец, калькуляторам, эксель, питону и матлабу.
Разумеется, в действительности не может существовать вычислительных машин с бесконечным КПД, ресурсами и т.д. (даже со стопроцентным КПД не может существовать), поэтому в действительности мы ограничиваемся разного рода рациональными приближениями в численных методах (при ручном и машинном счете) и числами с плавающим десятичным разделителем ("в компьютерах").
Для квадратных и кубических корней (что для неотрицательных оснований эквивалентно записям показателей 1/2 и 1/3 соответственно) есть алгоритмы вычисления квадратных и кубических корней "в столбик". Просто, загуглите "квадратный корень в столбик" и "кубический корень в столбик". Сходные алгоритмы есть и для корней более высоких степеней, но в действительности не применяются алгоритмы для степеней выше 6-й.
Для корней n-й степени есть разные алгоритмы. Например, метод Ньютона (тоже гуглится).
При этом, не надо забывать, что знаменатели дробных степеней полностью эквивалентны по записи нотации радикала только для неотрицательных оснований. И сама нотация радикала не применима к отрицательным подкоренным выражениям (которые мы хотим также считать основаниями дробных степеней) для случая арифметических корней при чётных корнях, но только для алгебраических корней при чётных радикалах, и для арифметических и алгебраических корней при нечетных радикалах.
Вот какая-то такая "анатомия" у общего случая возведения в степень с произвольным дробным показателем.
Надеюсь, не так сильно накосячил при изложении материала.
Из этой "простыни", наверное, должен быть какой-то вывод. А вывод такой.
Считать можно. Только осторожно.