Что такое комплексные числа, и для чего они нужны?

Комплексные числа — это пара действительных чисел и применяются везде, где вам нужно работать с... парой действительных чисел.

Если по-научному, то речь идет об ассоциативной алгебре над R, являющейся векторным пространством над R с умножением. Этому максимально общему определению удовлетворяет сразу несколько разных математических объектов, одним из которых, как раз, и являются комплексные числа.

Изначально необходимость в комплексных числах появилась при решении кубических уравнений, когда корни и коэффициенты действительные, но в промежуточных вычислениях по формуле Кардано возникла необходимость в дополнительном объекте, квадрат которого равен -1 . Позже его назовут мнимой единицей - i , а содержащие этот объект числа вида a + b*i — комплексными. Позже необходимость в комплексных числах подтвердилась при формулировании Основной Теоремы Алгебры, наивная формулировка которой утверждает, что количество основных корней многочлена равно его степени.

Дальнейшие исследования показали, что с тригонометрической и экспоненциальной формой комплексных чисел удобно описывать разные колебательные и периодические процессы, благодаря чему комплексные числа получили популярность, например, в электротехнике. Также ими удобно описывать композиции поворотов (причем, гораздо удобнее, чем при помощи углов Эйлера), благодаря чему комплексные числа получили распространение в 2D графике (а кватернионы, соответственно, в 3D графике).

Можно ли обойтись вообще без комплексных чисел? Можно, конечно. Просто, с ними многое описать удобнее и короче. С их практическим применением Вы можете столкнуться как в прикладных областях, вроде ТОЭ, 2D графики и даже отдельных разделов экономики, так и в фундаментальных дисциплинах, вроде магнитодинамики, квантовой механики и Общей Теории Относительности.

Вообще, в конструировании числовых систем парами нет ничего необычного: целые и рациональные числа тоже конструируются кортежами и это никого не смущает. Ну а вот комплексные конструируются как пара действительных. Это, кстати, не единственная возможная двумерная алгебра и конструкция над действительными числами. Парами чисел можно также конструировать гиперкомплексные числа, такие как, например, дуальные числа Клиффорда. Они записываются в виде: a + ε * b, где ε^2 = 0, но ε ≠ 0 . Или расщепляемые комплексные (они же паракомплексные, они же контркомплексные, они же гиперболические), где каждое число представлено в виде a + j * b, где j^2 = +1 , но j ≠ 1. Этими вариантами возможное количество двумерных алгебр не исчерпывается.

Зачем всё это нужно? Числовые системы — это, как бы, такие "языки", "словами" которых можно составить те или иные формальные высказывания и описывать действительность.

Математика — это язык.