Чему равна сумма натуральных чисел от 1 до ста включая сто?

Можно, конечно, взять и сложить 1+2+...+99+100, но это будет совсем не оптимальное решение.

Но можно сгруппировать слагаемые по парам: (1+100)+(2+99)+...+(50+51), очевидно, что таких пар 50 и сумма в каждой паре равна 101. Тогда получаем ответ 50*101 = 5050. Так можно посчитать любую сумму натуральных чисел от 1 до n. Если n нечетное, то казалось бы, не получается разбить слагаемые на пары, но тогда можно посчитать сумму чисел от 0 до n, тогда кол-во слагаемых будет четно, а сумма не изменится, например сумма чисел от 1 до 101 равна (0+101)+(1+100)+...+(50+51) = 101*102.

Отсюда можно увидеть, что на самом деле сумма чисел от 1 до n всегда равна n(n+1)/2. В нашем случае получаем 100*101/2 = 50*101 = 5050.