ИП нужно однозначно закрывать потому что там нужно платить налоги в любом случае, если даже не ведете деятельность. А вот по поводу центра занятости решать вам, но не расчитывайте на большие выплаты
Да конечно можете. Детские выплаты не зависят от трудоустройства или дохода матери ребенка. с заявлением можете обратиться на госууслуги или по posobie16.gosuslugi.ru. А так же в пенсионный фонд.