Профессией это назвать можно, но в первую очередь - это государственная служба - т.е. то же, что быть солдатом или очень мелким чиновником.
Поэтому не надо путать ямщика с извозчиком (если вопрос был про это). А также с кучером - как более общим термином.
Ямщик не был аналогом "таксиста", как пишут в некоторых ответах. Правильнее провести аналогию с военным водителем - срочником или сверхсрочником. В самом младшем звании - рядовой, ефрейтор.
Престижно ли это? Не очень. Денежно ли? На ям выделяли землю, на которой можно было вести хозяйство для самообеспечения. Быть крестьянином (государственным) - денежно? Капитал не накопишь, но и не нищий, голодать не приходилось.