Какими научными доводами пользовался К. Маркс, описывая отмирание госаппарата, бесплатность товаров и отмирание классов при коммунизме?

Если буквально в одном слове, то - никакими. То, что называют научным коммунизмом, к науке никакого отношения не имеет. Это еще можно посчитать философией (хотя и философские методы познания там во многом игнорируются), но куда ближе научный коммунизм к религии, причем именно в марксистской трактовке (в смысле опиума для народа - средства успокоения и избавления от страданий). Сначала Маркс решил, что существуют такие общности как классы, правда цельного определения того, что это такое он так и не дал (это сделал уже Ленин, причем мимоходом в статье, которая была о субботнике). Потом решил, что они существовали и в прошлом. Никаких эмпирических данных при этом он не использовал (по причине отсутствия таковых). Ну вот решил он, что существует такая вещь как классовое сознание, благодаря которому все члены класса осознают себя как часть этого сообщества. Никаких социологических исследований, естественно, не проводилось. Никакой работы с историческими источниками, чтобы подтвердить существование классов в прошлом - тоже. Потом Маркс решил, что государство - это орудие классового господства. Почему? Потому что так было нужно для его "теории". А дальше уже чисто логические рассуждения: при коммунизме классы исчезнут (потому что исчезнут), а, соответственно, исчезнет и государство.

В тексте вопроса слово "научными" следовало бы забрать в кавычки, это бы могло дополнительно прояснить дело.

К. Маркс, не будучи марксистом, живо чувствовал недостатки существующих на Западе социально-экономических отношений и притом, обладая подвижным воображением, имел способность предвидения будущего человечества.