Ответ есть в ОТО. Представьте себе, что мы перешли в инерциальную систему координат, в которой в данный момент скорость тела равна нулю.
Кинетическая энергия исчезла, как вроде бы исчезли и все связанные с дополнительной энергией гравитационные эффекты. На самом же деле при переходе от одной инерциальной системе координат к другой изменяются шкАлы пространства и времени, так что объективная картина мира остаётся неизменной. В ОТО всё это раскрывается, но чтобы всё привести в соответствие, там вводится довольно сложная математика.
То есть , пространство и искривляется по-разному! Но если летящая масса мала, то и искривление невелико, но для фотонов влияние гравитации проверено, а вся масса фотона связана с кинетической энергией. Также увеличение времени существования быстродвижущихся элементарных частиц зафиксировано экспериментально ещё в первой половине 20 века.
А Вот более наглядный пример "чудес" относительности.
Два параллельных пучка электронов, движутся с одинаковой скоростью.
Есть скорость и движение зарядов- есть ток, есть магнитное поле. Значит, кроме электростатического отталкивания, есть и магнитное притяжение.
Переходим в систему координат,в которой электроны покоятся. Тока нет, магнитное поле исчезло, заряд не изменился. Другая сила? Маразм разрешается преобразованиями Лоренца и СТО, изменение масштаба времени и расстояний корректирует силу электростатического движущихя электронов так, что результат возвращается на место, а магнитное поле оказывается "хвостом", откликом электрического поля на изменение линеек и шкал времени при движении. То есть, магнитное поле согласно СТО не самостоятельно, а существует как, если можно так выразиться, порождение поля электрического и движения (или вращения).