Почему мир - это клеточный автомат в трехмерном пространстве со сложными правилами взаимодействия «квадратиков»?

Клеточный автомат математически эквивалентен машине Тьюринга, а машина Тьюринга — это эквивалент любого неквантового ("классического") компьютра. Так что Ваш вопрос эквивалентен вопросу, является наш мир компьютерной симуляцией, как, например, в фильме Матрица.

По современным представлениям считается, что квантовый компьютер позволит решать некоторые задачи быстрее классического, то есть, квантовая механика, являющаяся основой нашего мироздания, работает "быстрее", чем любой классический компьютер. Если это так, то мир невозможно смоделировать при помощи клеточного автомата.

Все поля описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, которые , в свою очередь, в дискретном приближении представляют собой сорт клеточных автоматов (подкласс всех возможных).

Всё сводится к тому, является ли пространство дискретным. Будь оно дискретным, вероятно, можно было бы представить мир в виде клеточного автомата. Однако я не вижу оснований для того, чтобы считать пространство дискретным, многие процессы лучше описываются, если считать пространство непрерывным.

Нет. Клеточный и далее "квадратики" противоречат данным о многообразии структур (элементарные частицы, взаимодействия и прочая). Автомат - вариативность событий  не совсем соответствуют автоматизму. Пространство не существует само по себе, но вместе со временем.