Бывают ли мужчины-феминисты?

Да, конечно. Мужчины, которые  борются за права женщин и против дискриминации женщин - вполне себе феминисты.

В целом да. Здесь больше вопрос терминологии, которую не все феминистки разделяют. К примеру, мужчин рекомендуется называть профеминистами, поскольку феминизм как таковой был создан женщинами для женщин. 

Бывают, только этот термин был несколько подпорчен после того, как известные люди стали называть себя феминистами, при этом даже футболки с такими надписями у них были сделаны в странах третьего мира, с применением детского труда. 

Да. Обычно это мужчины, у которых с женщинами нормальные отношения и они на женщин не обижены. Адекватный человек не захочет, чтобы другого ущемляли в каких-либо правах.

Вполне. Феминисты - это те, мужчины, которые активно поддерживают и являются членами феминистического движения. Те же, кто считает, что слово феминизм закреплено только за женщинами, называют себя профеминистами, т.е. поддерживающими феминистическую идеологию и  феминистические движения, но не входящие в них.