Чему равен ноль в нулевой степени? 0^0=?

Отвечу на вопрос с позиции математического формализма (не ориентируясь на прикладную значимость, к коей отсылали в ранних ответах). 

Шаг первый. У нас есть некоторая аксиоматика теории множеств (в общем, как мне видится, здесь любая подойдёт) и определение алгебраического поля. Задаём на поле порядок и из множества пересечений всех его индуктивных подмножеств строим множество натуральных чисел. Каждому натуральному числу биективно соответствует некоторый класс эквивалентности мощностей множеств в нашей аксиоматике. Теперь нам достаточно определить ноль как натуральное число, соответствующее мощности пустого множества. Если какие-то понятие вам не очевидны, то могу лишь отослать к учебникам: Шень "Начала теории множеств" и Варден "Алгебра".

Шаг второй. Здесь и появляется 0^0 (ура!). Если у нас есть два некоторых конечных множества, например, A и B, то множество всех функций вида f:B->A есть множество, которое мы обозначим как A^B. Если мощность |B| = b, а |A| = a, где a и b лежат в множестве натуральных чисел (очевидно), то мощность |A^B|=a^b. Его мощность и будет результатом возведения натурального числа в степень. Отсюда самоочевидно видно, что число функций из пустого множества в пустое множества равно 1.

Посчитайте на калькуляторе 0.0000001 в степени 0.0000001. Получится 0.999998388192, то есть, близко к единице. Так что x^x приближается таки к единице в окрестностях нуля. Так что, принято считать, что 0^0 = 1

Калькулятор любой Винды даёт точный ответ: единица.

Вручную - без калькулятора - надо возводить в степень по нормальному, а не бракованному определению: степенью N числа является произведение ЕДИНИЦЫ на данное число N раз - в советско-российских учебниках единица традиционно не упоминается, что приводит к необходимости отдельно определять как первую, так
и нулевую степень.

С теоритической точки зрения выражение 0^0 не имеет смысла. 

С практической - тоже. Вы умножаете ничего на ничего нисколько раз. Что вы хотите при этом получить?