Что делать, если я начинаю беситься, когда человек начинает ныть? Значит ли это, что я такой же нытик, как он?

Возможно (это только предположение), что этот человек может себе позволить ныть и быть слабым, а вам приходится быть сильным, вы не можете себе позволить такое. Отсюда и чувство раздражения.

Здравствуйте! «Начинаю бесится» говорит о ощущении внутреннего конфликта, непринятия одной части Вас другой части. Вашими словами: «Да, это значит, что Вы скорее боитесь увидеть себя нытиком, и боитесь принять то, что в некоторой степени являетесь и им.