Вопрос какой-то некорректный. Что значит "наука пытается доказать"? Наука это не какое-то одушевлённое существо, чтобы что-то пытаться доказывать. И это даже не организация с чётко выраженной линией партии ("Так, мужики, пришла разнорядка, сегодня с 9 утра до 5 вечера доказываем, что Бога нет, а потом расходимся по домам").
Если говорить об учёных в отдельности, то сейчас, например, есть открытые задачи -- как тот же вопрос P=NP. И для таких гипотез разные люди могут пытаться доказать как истинность, так и ложность. По понятным причинам, одна из этих двух групп пытается доказать то, что она доказать определённо не может.
К сожалению, привести конкретный пример того, что наука не может доказать, но пытается, нельзя, так как если бы про что-то было достоверно известно, что это нельзя доказать, наука бы и не пыталась это доказать.