Лично для меня это значит не рассказывать того, что тебя больше всего волнует, тревожит, заботит. По разным причинам. Из-за того, что не так давно знаком с человеком, эти откровения могут быть связаны с теми жизненными ситуациями, узнай которые он, возможно, обидится, неправильно поймёт, или просто потому что ему не доверяешь.
Когда "открываешься" кому-то начинаются не поверхностные разговоры (сюда входит даже обсуждение общих интересов), а искренние вещи, такие как разговор по душам, своих убеждениях, точках зрения по любому вопросу. Тебя может тревожить что-то, может, не особо глобальное и значительное, но ты хочешь этим поделиться с человеком. И поймёшь, что он не осудит, выслушает, даст совет.
Значит не рассказывать о себе детально посторонним людям, не называть свои истинные мотивы, желания, цели и т.д. Открыться кому-то = рассказать какой-то свой секрет, довериться.