Зависит от того какой у вас браузер. Многие современные предлагают экспорт/импорт с синхронизацией. А из Хрома можно даже в Firefox закладки импортировать, об этом читайте в статье https://chromiumm.com/import-zakladok-iz-chrome-v-firefox.html
Есть два простых способа. Первый, это воспользоваться функцией синхронизации браузера, т.е. сначала войти под своей учетной записью на старом браузере, а потом на новом. Ещё можно сделать экспорт закладок в отдельный файл, а потом импортировать этот файл в новом браузере.
Можно воспользоваться синхронизацией. Например, можно войти под одной учетной записью, в хроме, на разных компьютерах, в одном браузере и включить автосинхронизацию. Помимо закладок, у вас будет история со всех устройств где введена эта учетная запись