Доказать, что { sinX, cosX } - базис линейного пространства функций f(x) = aSinX+bCosX, где a,b ∈ R. Какова размерность этого пространства?
Составьте линейную комбинацию функций sinx, cosx, приравняйте ее к нулю.
Затем продифференцируйте равенство. Вы получите систему относительно коэффициентов линейной комбинации. У нее для всех значений х единственное решение. Найдите его.
Мне уже преподаватель подсказку дал, но я всё равно никак не могу понять как это сделать... Может кто нить, пожалуйста, прозрачно объяснить как это сделать?
a sinX + b cos X - линейная оболочка синуса и косинуса по определению. То есть синус и косинус в ней - полный набор, задает её всю. Осталось доказать что уменьшить этот набор нельзя, то есть что синус и косинус независисмы. Это наверно можно сделать миллионом способов, начиная с фразы "это очевидно", но преподаватель наверно намекает на следующий. По определению линейная зависимость значит, что для каких-то a и b
a sin x + b cos x = 0
это одно уравнение. Оно должно выполняться для всех икс. Тогда мы можем его продифференцировать и получить
a cos x - b sin x = 0
Теперь решим эту систему уравнений относительно a и b. Ее определитель не равен нулю по основному тригонометрическому тождеству, а значит существует только одно решение a = 0, b = 0. А значит синус и косинус не зависимы, а значит они базис