Должен ли мужчина, приглашая на танец женщину в ресторане, спросить разрешения у сопровождающего ее мужчины?

Это вежливость. Очень жаль , что многие из молодежи уже и не знают, что это такое. Приглашая чужую женщину вы, по сути, вмешиваетесь в чужие отношения.  А на это согласие требуется.