У меня есть "Служба покраски".
Как правильно написать заявление человеку, который назначается на должность заместителя начальника службы?
Получается: "Прошу назначить меня на должность заместителя начальника службы службы покраски"
Меня смущает, что идёт повтор двух одинаковых слов.
Вы правильно заметили. Пишите заявление, "Прошу назначить меня на должность заместителя начальника службы покраски". Таким образом, все встанет на свои места.