Если человек отказывается от гражданства (одного единственного), он становится апатридом (или лицом без гражданства).
Теоретически, такое вполне возможно. Согласно статье 15 Всеобщей декларации прав человека, человек имеет право на гражданство, однако из этого следует, что он также имеет право на отказ от гражданства вовсе. Однако человек не может быть лишен гражданства или права изменить его произвольно - следовательно и права отказаться от него тоже лишен быть не может.
Нужно учесть, что существует документ под названием "Конвенция о сокращении безгражданства", который запрещает государствам лишать гражданства (особенно если это приведет к становлению человека апатридом), кроме особо оговоренных случаев. Возникает противоречие со Всеобщей декларацией прав человека. Хотя данный документ является весомой причиной для отказа при добровольном лишении гражданства, из-за конфликта со Всеобщей декларацией прав человека каждый случай рассматривается отдельно.
Что же на практике? Люди без гражданства не имеют политических прав и должны иметь другие документы, удостоверяющие личность (вид на жительство, например, в РФ, но международно существует документ, который называется certificat d`apatrid). Апатриды существуют, их довольно много, однако в таком положении они оказались, в основном, по каким-то другим причинам, нежели добровольное лишение гражданства.
В России (а смею предположить, вы имеете в виду именно её) подобная процедура невозможна. Одним из условий отказа от российского гражданства является наличие гражданства другой страны, в противном случае у вас ничего не получится.