Если в СССР «боролись с буржуазией», почему тогда был создан советский джаз?

Что вы, Gent, ну какая буржуазия?) Джаз - это музыка несчастных обездоленных угнетаемых негров. А значит, пролетариата. После изнурённого труда, они собирались возле своих жалких лачуг и картонных коробок, чтобы вложить в свои мотивы весь гнев, и желание сбросить яромо нещадных эксплуататоров. Уже потом коварные хозяева похитили у них музыку, для того чтобы предаваться под неё своему растлевающему праздному отдыху. - Во всяком случае, когда в 1920-30-е годы начинался разбор  полётов, можно было привести такую отмазу; если кода-нибудь смотрели фильм "Мы из джаза", там это есть. 

Вообще, джаз проник во времена ещё не столь муторные - в 1920-е годы. Тогда было множество частных развлектельных заведений, подвальчиков, варьете, где отдыхали прежде всего богатые нэпманы, но также, в общем-то и все остальные, кроме очень сознательных комсомольцев и ответственных партийных. И пока НЭП не трогали, не трогали и заведения. А концу эпохи музычка уже как следует прижилась.

Тут стоит вспомнить, что в 1920-30-е гг. США, в общем-то не были таким антагонистом СССР, как после WWII. А скорее даже в чём-то дружественная страна, поставлявшая массово технику и специалистов. Так что и воевать со всем американским не было нужды. Вообще, в 1930-е советский казённый патриотизм ещё только формировался, и позволял в себя вбирать разные стили.

В первой половине вышеуказанного десятилетия, в условиях, когда значительные территории голодали, а кто из простых людей не голодал, то, всё одно, жил в нищете, неустроенности и серости, решили, что нужны такому народу хоть какие-то развлечения. Смешать пафосные видео Г.Александрова с популярной в народе музыкой, и незаметно подмешать чутка идеологии - profit!

IMHO, утёсовский джаз-банд, да и весь советский джаз 1930-х вполне можно сравнить с ВИА второй половины века, где под модные ритмы и оранжировку играли вполне идеологически выверенную безобидную музыку. Впрочем, Утёсову вообще можно было чуть больше, так как он пользовался популярностью уже давно, а ещё пользовался определённым расположением Самого. После войны, заметим, у него уже пошли несколько другие темы. 

Да, само слово "джаз" не так уж часто было в ходу. Это помогало обходить острые углы.

После войны:

1) Америка уже стала врагом №1. И иже с нею почти весь Запад.

2) Ставка была сделана, в некотором роде, на национализм, и народные традиции (люто перемешанные с идеологией). Идеальный вариант песни - под околонародную музыку (с балаалйками и гармошками) но с добавлением инструментала, исполнялась пафосная, песвдонародная песня о любви к Родине, партии и вождю. Или же приветствовались пластинки из бабушкиных сундуков. Впрочем, даже к танго относились с подозрением.

3) Тот джаз, под который отрывались стиляги, был мало похож на то, что исполнял утёсовский ансамбль. Собственно, и за океаном такие варианты джаза некотрое время были неприемлимыми для мейнстрима. Постараюсь пояснить: то, что происходить среди афроамериканцев, белых не особо волновало. Для "цветных" была своя музыка, часто гораздо более раскрепощённая, чем та, что была дозволена белым. Для них снимались свои фильмы, где аппетитные мулатки выделывали под резвую музычку такие раскрепощённые движения, что у белых пуритан могли вызвать шок.Т.е., вообще своя атмосфера. Но белая молодёжь постепенно перенимала эту атмосферу. Прежде всего, хипстеры. И это же позже перешло к нашим стилягам. Стиляги думали, что они выглядят как среднестатистические рандомные американцы, но в реальности походили на выпендрёжные субкультуры, которые существовали во многих странах в смежные промежутки времени (про это у меня был отдельный ответ, см. "Стиляги").