Есть ли такая социальная сеть, куда бы ты транслировал музыку, как на своё личное радио, а желающие бы заходили и слушали его?

Да, такие сети существуют. Например Mixlr — сервис для музыкальных трансляций. Очень удобный и понятный интерфейс, а также возможность запланировать начало вещания, рекомендую.

Ну и конечно, есть yandex.radio, где ты делаешь радио сам. Лучшей радиостанцией там является та, которую сделал вот он - @plushev. По-моему, так и называется, по его твиттеру.