Дешевле всего проживание в хостелах в отдаленных уголках Москвы. В плохих условиях, где одна комната на 6-8 человек рассчитана. Не советую за самой дешевизной гнаться. Тут https://moscow.netizenhostels.com/ информацию почитайте.
В целом, есть довольно обширный выбор дешевых мест, где можно остановиться в Москве, например мини-отели, хостелы, или очень дешевые квартиры. Например есть мини-отель Ideal в 300 м от метро Китай-город, цена за ночь 700 рублей.