Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Кто и как доказал теорему Пуанкаре?

Математика
Популярные вопросы из поиска
  · 87,2 K
Редактор, автор и переводчик книг по математике  · 9 нояб 2019  ·
problemaday

Самое интересное в истории с гипотезой Пуанкаре, -- не кто и как, а что именно. Григорий Перельман справился с большей проблемой, а гипотеза Пуанкаре получилась как простое следствие (и не самое значительное) из его работы.

К концу XIX века уже были известны топологические типы двумерных «хороших» поверхностей. Довольно трудно объяснить, какие поверхности «хорошие», но я нарисую кое-что нехорошее:

Пуанкаре 0.jpg

У поверхности окрестность любой точки должна быть похожа на диск. Под номером 1 – не поверхность, ведь у выделенной точки ближайшая окрестность – трехлепестковая штучка, а не просто диск. Хорошая поверхность должна быть связной, безграничной и конечной

Хорошие поверхности уже можно классифицировать.

Пуанкаре 1.jpg

Скажем, поверхности мяча, бублика и кренделя – разных типов, непрерывными преобразованиями нельзя одну деформировать в другую. Непрерывно деформировать – значит растягивать, сжимать и скручивать, но только не рвать и не склеивать кусочки.

Здесь важно, что мы, жители 3-мерного пространства, с одного взгляда отличаем эти поверхности. А что же их плоские обитатели, которые не могут выбраться в третье измерение? Им было бы непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором они живут. Скажем, муравей, который живет на бублике, не видит дырки от бублика – он воспринимает только двумерную поверхность, на которой живет. Но муравей может расположить на поверхности веревочную петлю, которую невозможно стянуть в точку. Так он и определит, что живет не на сфере, ведь на сфере любая петля в точку стягивается.

Нам, обычным трехмерным жителям привычного трехмерного пространства, тоже непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором мы живем! Мы не можем выбраться в следующее измерение, чтобы посмотреть на наш мир снаружи. Придется научиться характеризовать трехмерный мир по его внутренней природе, а не по тому, как он вписывается в гипотетическое следующее измерение.

В начале XX века Анри Пуанкаре хотел разобраться с трехмерными многообразиями (аналогами поверхностей). Он высказал обманчиво простое утверждение:

если на трехмерном многообразии (без границы, конечном) любой контур стягивается в точку, оно должно быть топологически эквивалентно 3-мерной сфере.

Пуанкаре 4.jpg

3-мерная сфера – непростой объект. Возьмем двумерный диск в виде гибкой пленки с границей в виде гибкого шнурка. Продавим диск, чтобы получился этакий мешок, а потом стянем шнурок-границу в точку. Получим 2-мерную сферу, на которую мы смотрим из трехмерного пространства. Теперь сделаем то же самое с трехмерным диском (обычно мы называем трехмерный диск шаром). Стянем его границу в точку и получим 3-мерную сферу. Говорят, есть такие люди, которые могут это с легкостью представить.

Эту гипотезу можно обобщить; обобщенная гипотеза Пуанкаре говорит примерно то же самое, но только для размерностей выше 3. И вот для больших (больше 4) размерностей ее доказал в 1960-1970-х годах прошлого века Стивен Смейл (он составлял список задач XXI века и поместил в него гипотезу Пуанкаре).

Для размерности 4 доказательство придумал Марк Фридман в 1982 году. И только родная, домашняя размерность 3 никак не поддавалась.

Тем временем топология не стояла на месте. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия. Это куда круче, чем характеризовать одну только 3-мерную сферу. Он придумал разбивать любое трехмерное многообразие на куски, на каждом из которых реализуется одна из восьми стандартных геометрий. На помощь топологии Тёрстон призвал геометрию с такими элементами как расстояния и углы – топология обычно их и не рассматривает. Так возникла программа геометризации Тёрстона – охарактеризовать каждое трехмерное многообразие набором геометрий на нем. Гипотеза Пуанкаре стала бы просто следствием этой программы.

В 1982 году Ричард Гамильтон придумал новый метод в геометрическом анализе – потоки Риччи. Этот метод позволял преобразовывать метрику пространства: там, где кривизна отрицательная, -- увеличить, там, где большая положительная, -- уменьшить. И если исходное многообразие было похоже на сферу, оно в сферу и превратится.

Пуанкаре 3.jpg

Но с этими потоками Риччи была такая беда: при таком преобразовании иногда возникали особенности. Особенности мешали потокам течь куда надо, и тогда Билл Браудер и Джон Милнор придумали метод хирургии: надо разрезать сингулярность и заклеить потом места разреза. К несчастью, эти сингулярности иногда ведут себя как многоголовая гидра – от одной избавляешься, а несколько появляются.

Гамильтон все же сумел применить методику потоков Риччи так, чтобы провести классификацию двумерных поверхностей. Это показало силу метода, но не более: двумерные поверхности были классифицированы задолго до того. Но и в размерности три Гамильтон смог продвинуться очень далеко. Он открыл новый путь в математике, хотя и не прошел по нему до конца.

Справиться с гидрой сингулярностей смог Григорий Перельман: он показал, что сингулярности не будут множиться бесконечно, рано или поздно они прекратятся. В первой из трех статей по предмету Перельман прямо писал, что дает краткий набросок доказательства гипотезы геометризации (Тёрстона).

image.png

После были ещё статьи и долгое их обсуждение в математическом сообществе. Что же сделал Перельман? Доказывал ли он гипотезу Пуанкаре?

На самом деле он справился с трудностями метода потоков Риччи и тем самым доказал гипотезу геометризации Тёрстона. И в качестве приятного бонуса отсюда следовала истинность гипотезы Пуанкаре. Вот за этот бонус и полагалась миллионная премия института Клэя, а вовсе не за основной результат.

Перельман отказался от премии в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. И объяснял это, в частности, тем, что основная работа сделана не им. Журналисты не могли пройти мимо и не написать о Перельмане; по дороге выяснилось, что способ жизни Перельмана очень своеобразный, и это стало другим поводом о нем писать. Фотографии и детали личной жизни привлекали внимание читателей гораздо больше, чем смысл его работы.

А если бы Перельман взял миллион? Из этого хайп сделать было бы еще проще: обвинить его в том, что Перельман забрал премию, хотя основную работу сделал Гамильтон. И все, до конца дней не отмылся бы.

Незадача Кью. Решение задач по математикеПерейти на yandex.ru/q/loves/7b65a89f-f3fa-4aac-9d7b-824b66b44f01
Электронный периодический рецензируемый научный журнал «SCI-ARTICLE... На сайте электронного рецензируемого... Читать дальше
Пенсионер, пенсионер.  · 30 нояб 2020
Ну это не теорема, а Гипотеза Пуанкаре. Вы считаете до-сих пор, что сферы это трехмерный объект? Не, далеко не так. Это всего лишь двухмерный объект. Не верите? Попробуйте тогда опровергнуть эту Гипотезу. А ведь Перельман, якобы, доказал, что в Топологии нет числа пространств, и все можно превратить в 2-х мерную сферу, развернуть в нее. В любом случае, это возможно, как... Читать далее

Теперь это уже теорема, конечно же.

Профессия - инженер. Увлечения - техника, электроника, заводское производство, желательно...  · 22 авг 2020
Теорему доказал, как часть другого доказательства - Григорий Яковлевич Перельман. К сожалению для науки Григорий Яковлевич - патологически честен и чрезвычайно умён. Если - бы ему предоставили достойные условия, не дёргали бессмысленными упрёками и домыслами, я уверен - мир математики пережил - бы ещё не одно потрясение устоев... Но слишком много зависти, желания... Читать далее
Математики не любят лжи. Если после 5-6 лет обучения и решения множества задач (поисков правды) Вам в лицо лгут... Читать дальше
Первый

Вы, математики, стараетесь бублик в шар превратить, то это, вне всякого сомнения не получится. А из теста - легко, силой кисти руки. А во Вселенной эта "кисть" может существовать.

Ох, вы там доиграетесь! Ох, вы там добалуетесь:

Из кренделя пытаетесь вы колобки испечь!

Гомеоморфность плоскости и сферы в трёхмерном пространстве - эта задача была решена Евклидом, а доказана Лобачевским! Геометрия Евклида - это решение, а геометрия Лобачевского - это доказательство решения, выполненного в геометрии Евклида. Удалите из Евклидовой геометрии пятый постулат, который не имеет никакого отношения к Евклиду - получите тривиальное решение этой... Читать далее
Первый
В недавнем прошлом преподаватель математики и физики(на кафедрах). Сейчас отдыхаю -стал...  · 16 нояб 2020

Доказал-ли кто -то? Перельман опирался при доказательстве на фальшивую теорию уравнений в частных производных, в основу которой положено фальшивое учение о функциях многих переменных

Первый
Всё есть точка и всё есть многоточие. У двумерных людей - круг. У трёхмерных - шар. У четырёхмерников -мяч. Четвёртое измерение. - во внутрь. Там плотность и тьма "точек". А дальше оказывается, что и очертания - тоже плотность. Тор ("бублик") легко сводится в точку различной плотности, т.е. мяч. Пуанкаре не был четырёхмерником. Перельман им стал благодаря учителям-потом... Читать далее
V=(2√S F)3 V=(2√S x 0.2062994)3 выводим с квадрата сферу - которой замкнут объём, умножаем на точеную величину F = 0.2062994 и возводим в куб - получаем объём точечного фазового сдвига времени S=(3√V)2/F S=(3√V)2: 0.2062994 выводим объём V из куба и возводим в квадрат в отношении точечного фазового сдвига F = 0.2062994 и получаем сферу S... Читать далее
Первый

Пуанкаре высказал предположение о возможности существования гипотезы, а последующие математики, пошагово доказали о праве на существование этой гипотезы. Перельман последний.

Гипотеза - это и есть предположение. "Пуанкаре высказал предположение о возможности существования гипотезы"... Читать дальше
Первый

Ну Перельман вообще красавелла, я ща сижу задачи на вычеты решаю, у меня мозги кипят, на Вики по теме нашел теорему Пуанкаре,а тут наш земляк,красавчик, решил,да еще и отказался от премии,тем самым он попурилизовывает матешу,ну зачет вообще!1!

Пирельман не взял деньги потому что они не нужны для его развития его сознания, деньги как таковые уводят человека... Читать дальше