Если формулу Эйлера возвести в квадрат и прологарифмировать, то можно показать, что мнимая единица может быть равна и нулю?

Логарифм — функция многозначная в комплексной плоскости, а поэтому при логарифмировании обеих частей какого-либо равенства, разумеется, равенство может прекратить существование.