Какие части речи в тексте делают текст нечитабельным? Почему?

Части речи не виноваты! Сами они ничего не делают «нечитабельным». Вот те люди, которые частями речи пользоваться не умеют, — они да, делают.

При этом отдельные категории слов действительно можно считать более «опасными». Когда вы их слишком часто используете, то рискуете снизить читабельность.  

1. Неожиданно: первыми упомяну существительные, поскольку они обозначают «предметы», а лишний предмет во фразе создает место для своих признаков, действий, дополнительных слов-связок и т.д. То есть существительные трудоустраивают лишнюю словесную массу, а когда слов много, в них проще запутаться. «Худшие» существительные — отглагольные, см. https://www.timuroki.ink/deadverb
2. Сложные составные предлоги, многие из которых субстантивны, то есть основаны на тех же существительных. «В соответствии с», «несмотря на», «наподобие» и т.д. Делают фразы более формальными, громоздкими, значит — менее читабельными. 
3. Избыток причастий и деепричастий запутает в действиях. https://www.timuroki.ink/prichastiya-i-deeprichastiya

Прилагательные, глаголы и наречия менее «рискованны», но дисбаланс частей речи — не главная угроза. Главные угрозы — логические дыры, непродуманное содержание, слабое владение языком в целом.