Я что-то пропустил. Как началась война между Арменией и Азербайджаном?

Вы ничего не пропустили - война, по факту, началась еще в конце 1980-х годах, до Вашего рождения. Конфликту армян и азербайджанцев - много лет, и предысторию его я не знаю если честно (знаю только, что они сцеплялись еще во времена Первой русской революции 1905-07 Гражданской войны, то есть сто лет назад). После ГВ, Карабах отошел к Азербайджану (хотя изначально рассматривался и вариант Армении). Несколько раз поднимался вопрос присоединения Карабаха/Арцаха к Армении, но советские органы безопасности успешно все "торпедировали". С другой стороны, именно в СССР НКР получила автономный статус.

Нынешний "раунд" начался в 1987 году - во времена Перестройки. Дело в том, что после присоединения территории будущей НКР к Азербайджану началась ее постепенная "азербайджанизация" - благо рождаемость у азербайджанцев была выше, что позволяло постепенно "колонизировать" Карабах и прилегающие районы с армянским большинством. Армянам это явно не понравилось; демократизация жизни в 1980-х позволила руководству Карабаха открыто говорить о своих претензиях к Азербайджанскому руководству, упрекая последний в консервации экономической отсталости региона, затруднении культурных связей с Арменией.

" Когда по дороге сюда мы спрашивали ответственных товарищей в Баку, в ЦК Компартии Азербайджана, откуда, на их взгляд, возник вопрос о смене статуса автономной области, нам объясняли, будто вопроса тут в принципе как такового нет. А если и есть, мол, то создан он кознями подрывных центров из-за рубежа, пытающихся разыграть национальную армянскую карту.

Спорить не станем — кое для кого за рубежом события вокруг Карабаха и впрямь подарок, позволяющий получать какое-то время пропагандистский навар. Но будем откровенны: разве в результате чьих-то происков в здешних нагорно-карабахских школах приходятся два учебника армянского языка на целый класс? Нет, это результат «дальновидности» некоторых республиканских органов. Из расписания здешних школ исключили историю армянского народа, донельзя затянули в принципе решенный вопрос о строительстве телеретранслятора, чтобы можно было в Нагорном Карабахе смотреть ереванские телепрограммы. Кто так придумал оформлять документы, что в депутатских мандатах, в паспортах здешних армян нет ни одной надписи по-армянски? Или это сделано в борьбе с проявлениями национализма?

Почему, спрашивали нас далее, приезд каждой гастрольной группы из Армении, находящейся отсюда, заметим, всего в нескольких километрах, надо каждый раз согласовывать с Баку? Почему даже медсестру в поликлинику здесь, в автономной области, нельзя принять, не имея санкции опять же из Баку? Приводимый ими перечень перекосов в экономике, социальной, других сферах казался бесконечным.

Нельзя не заметить: в названных проблемах много общего с проблемами любой глубинки — не только национальной. С одной стороны, в этом нам видится застарелая привычка центра выезжать за счет провинций, больше брать от нее, чем давать на развитие; с другой — права местных, областных органов весьма ограниченны. Такие отношения сами по себе давно устарели — надо дать местным Советам больше прав, больше реальной власти. На национальной же почве, как это обстоит в нашем, конкретном случае, ограничение прав не просто помеха развитию, а повод для обид. В этом нам видится основной реальный аспект здешней проблемы."

http://www.press.karabakh.info/Встречи_после_митингов

В 1988 году начались погромы; Армян выгоняли из Азербайджана (печально известны погромы в Сумгаите в 1988 и в Баку в 1990-м). Азербайджанцы точно также бежали из Армении.

Тем не менее, СССР худо-бедно удавалось сдерживать ситуацию,хотя уже в 1990 году начались бои между МВД Азербайджана и армянскими незаконными вооруженными формированиями, но после распада Союза "Остапов понесло" (причем, обоих). Первоначально, пользуясь параличом Союзного центра, армяне смогли взять под свой контроль значительные территории. Впоследствии, началось формирование ВС нагорно-карабахской республики с одной стороны и Национальной армии Азербайджана - с другой. Вооруженные силы Армении в стороне не оставались. По результату трехлетнего противостояния, победили армяне (де-факто), которые контролируют почти всю территорию бывшей Нагорно-Карабахской автономной области, районы Азербайджана, находящиеся между Арменией и Нагорным Карабахом; и т.н. "пояс безопасности" - опять же из азербайджанских районов.

Шли годы. Стороны регулярно перестреливались друг с другом.

Внезапно (с) подорожала нефть, что обеспечило Азербайджану неплохой бюджет. В том числе и военный бюджет (соотношение военных бюджетов Азербайджана и Армении выглядело до недавнего времени как 9:2) 0 он, по-меому, был еще недавно сопоставим со всем бюджетом Армении.

Но все когда-то заканчивается. Эпоха дорогой нефти в том числе (кому, ка не россиянам это знать!). И внезапно азербайджанское руководство осознает, что:

1) У самого Азербайджана начались проблемы с валютой. 

http://interfax.az/view/668889

Как-то надо отвлечь население. Например, начав войну (а вокруг идеи "возвращения Карабаха" выстроена вся идеология современного Азербайджана).

2) Такого соотношения сил больше не будет. Сейчас вооруженные силы Азербайджана находятся на пике своего могущества и выше уже не скакнут. Преимущество перед армянами, полученное за счет нефтяных денег постепенно нивелируется.

Нагорный Карабах - классика жанра непризнанных республик. При СССР спорный участок территории приписали Азербайджану. В этом корень проблемы. Точно так же как с Крымом, с Абхазией, с Южной Осетией и другими непризнанными республиками.