Является ли трансгуманизм продолжением гуманизма, или он к гуманизму уже не имеет отношения?

Нет, не является.

И даже напротив, это его полная противоположность.  

"Благие намерения = дорога в ад"  это, как раз тот случай -  про трансгуманизм.

 Почему дорога в ад? 

А вспомните для примера "обезьяну с гранатой". В чём её проблема?  – в отсутствии ответственности,  разумности и этики. 

Это сочетание даёт ясное понимание и того,  насколько трансгуманизм  может быть далёк от гуманизма. 

Как впрочем и сам гуманизм,  от элементарного уважения к Жизни. 

И пара утрированных примеров

 гуманизм –

– "доктор,  осколки мины повредили ногу,  сделайте всё возможное чтобы её не отрезать”

– "всё ок,  ваша нога в безопасности. Мы отрежем только ваши органы, они очень нужны  неизлечимо больным и страдающим людям. Наша цель помогать им.  

–доктор,  а как же я

– а что вы?  Вы же всё равно не сегодня так завтра умрёте.  Это судьба ”пушечного мяса". ”

На фоне чёрной трансплантации (только на Украине  оборот  достигает 2 млрд $) трансгуманизм выглядит святым миссией. 

трансгуманизм –

– "доктор,  что со мной"

– "всё ок,  мы создали вам новое тело!  Мы вернули вас к жизни после чудовищной катастрофы!  Поздравляем вас, с участием в самой грандиозной  программе будущего. Вы послужите примером и  станете легендой для всего человечества!  А пока мы  будем праздновать это событие и получать гранты,  вас ждёт сладкая гибернация"

Когда нравственная планка и разум близки к нулю  любая мотивация,  идеи и лозунги приводят к деградации  общества. 

Посмотрите для примера фильм "Апгрейд" 2018 г.

Там очень красноречиво показана вся грань между человечностью человека и "служащим" ему техническим прогрессом. 

Я думаю, трансгуманизм, который находится за пределами гуманизма, и евгеника по улучшению породы людей - это поспешное учение и вмешательство в природу человека без последовательного улучшения существующего положения, без учета всех относящихся фактов и тонкостей.

Можно ли назвать эпоху гуманизма гуманной, если именно в начале гуманизма начали сжигать на кострах?

Возрождая культ плоти, гуманисты превращали элиту людей в породистых животных, а трансгуманизм уже в центр "картины мира" не ставит ни Бога, ни человека. Для трансгуманизма эпоха человечества прошла, теперь приходит время нелюдей.