Скорее всего это паутинный клещ или огневка. Некоторые другие насекомые, так же, оставляют паутинки. Бороться с ним можно при помощи инсектицидов. Если на смородине уже есть ягоды, то использовать нужно максимально мягкие средства, строго следовать инструкции. А можно использовать народные методы. В зависимости от вида насекомого, помогают опрыскивания луковой шелухой, припудривание золой. Смородину нужно чаще обливать водой.
Мучнистая роса, на последнем этапе, тоже оставляет паутинку, но при этом на листиках есть белый налет.