Согласно Закону РФ "О миграционном учёте иностранных граждан.." вам необходимо обратиться с заявлением в отдел МВД по месту проживания в РФ, либо в МФЦ/центр предоставления госуслуг, либо через почту. Зависит от обстоятельств получения регистрации (в том числе от принимающей стороны). Допустим, если вы гражданин РФ, то можете оформить регистрацию дл бабушки через МФЦ как принимающая сторона.
В целом, заявление может подать либо бабушка, либо законный представитель если она признана недееспособной (п.3 приказа МВД РФ #881) в течении 7 дней с момента прибытия на территорию РФ.
Необходимые документы: заявление; документ, удостоверяющий личность; документ на право пользования помещением; + вид на жительство/разрешение на временное проживание.
Первично разрешение выдается на срок 90 дней, далее продлевается при необходимости и наличии оснований (например, в вашем случае это скорее ожидание получения вида на жительство, либо разрешения на временное проживание (РВП).
То есть, на срок для того, чтобы находится на территории РФ более 90 суток, вашей бабушке необходимо оформить вид на жительство или РВП.