Согласно орфографической норме русского языка нормативным является лишь "в течение дня".
Мы пишем на конце “е”, так как “в течение” в данном словосочетании является предлогом.
Как понять, что данное слово является предлогом?
Если мы употребляем “в течение” в качестве предлога, то в предложении он будет отвечать на вопросы “как долго?”, “когда?”.
Например:
В течение дня он сделает (он сделает когда? – в течение дня).
Отвечать на вопросы на «Знатоках» в течение дня.
Но в течении этого дня что-то внезапно нарушилось (предлог в с существительным течение в предложном падеже).