Как считали число пи?

Классическое определение числа Пи -- отношение длины окружности к её диаметру. Только вот, исторически число "Пи" как именно таковой математический объект появилось сравнительно недавно -- в 1706 в трудах Уильяма Джонса и в 1736 в работах Леонарда Эйлера. До этого времени лишь описательно говорилось о такого рода отношении, не обозначаемом специальной константой.

Вычисляли по-разному и разными инструментами.

а) Либо считали Пи как среднее между отношением периметра описанного многоугольника к диаметру и отношением вписанного многоугольника к диаметру (эдакое "протоинтегрирование"). Т.е., вписываете правильный n-угольник, описываете правильный n-угольник, а длина окружности где-то между ними. Все рациональные приближения дробями "сверху" и "снизу", на самом деле, сводятся именно к этом задаче: к геометрическому приближению описанными и вписанными многоугольниками.

б) Либо находили это значение как обратную задачу от приближенного решения задачи квадратуры круга (точного решения не может в принципе существовать при наличии каких угодно инструментов; есть приближенные решения разной степени точности при помощи циркуля - линейки, циркуля-линейки - транспортира, циркуля - линейки - циссоиды, циркуля - линейки - конхоиды, циркуля - линейки - конхоиды - циссоиды, циркуля - линейки - конических сечений и т.д.)

а) Либо брали бечевку, опоясывали ей цилиндр, а потом делили длину бечевки на диаметр цилиндра. Диаметр цилиндра замерить относительно просто штангенциркулем или подобными приборами.

б) Альтернативный способ подсчета: площадь окружности единичного радиуса равна, как раз, π. Можно начертить окружность с радиусом, принятым за единичный, а потом покрыть круг внутри окружности монетками или зернышками, затем посчитать их количество и умножить на площадь каждого.

в) Вариант способа 2б: закрасить такой круг и посчитать приблизительно по расходу краски.

Вот какими-то такими приёмами и пользовались. Часто вопрос возникал в контексте нахождения приближенных решений задачи Квадратуры Круга. Задача Квадратуры Круга не имеет и не может иметь точного решения, даже если к циркулю и линейке добавить какие угодно дополнительные инструменты. Эту задачу можно решить только приближенно с разной степенью точности.

Трудность числа "пи" заключается в том, что в начертательной геометрии в принципе невозможно практическое построение линейного объекта меры (т.е. длины) "пи". Но возможно построить двумерный объект площадью "пи" (круг внутри окружности единичного радиуса). Это отличает число "пи" от алгебраических иррациональных чисел -- например от sqrt(2) или cbrt(2) , построение которых возможно (первого -- только циркулем и линейкой, второе -- циркулем, линейкой и доп. инструментами (например, циссоида, транспортир и невсис). Наглядная демонстрация отличия трансцендентных чисел от алгебраических иррациональных.

Лучше всего через арктангенс, разложив его в ряд Тэйлора:

arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - ∙∙∙ + (-1)ⁿ⁺¹ x²ⁿ⁺¹ /(2n+1) + ∙∙∙; n ∈ ℕ; при x=1 ⇒ arctg 1=π/4=∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1); i от 1 до n ∈ ℕ; ∴ π=4(∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1)); i от 1 до n ∈ ℕ с точностью до 2/n².

Тут возразили не по существу сразу 2 эксперта-математика, один даже гибрид с биологом, типа медленно сходится, однако, гениальный Леонард Эйлер использовал школьную формулу, чтобы успокоить экспертов:

tg(α+β)=(tg α+tg β)/(1-tg α • tg β), при α=arctg ½ и β=arctg ⅓ получил tg(arctg ½ + arctg ⅓)=(½+⅓)/(1-½ • ⅓)=(5/6)/(1-1/6)=1 ⇒ arctg tg(arctg ½ + arctg ⅓)=arctg 1=π/4 ⇒ π=4(arctg ½ + arctg ⅓)=4(½ + ⅓ - ⅛/3 - 1/27/3 + 1/32/5 + 1/243/5 - 1/128/7 - 1/2187/7 + ∙∙∙). И этот ряд очень быстро сходится.

Лучше всего через арктангенс, разложив его в ряд Тэйлора:

arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - ∙∙∙ + (-1)ⁿ⁺¹ x²ⁿ⁺¹ /(2n+1) + ∙∙∙; n ∈ ℕ;

при x = 1 ⇒ arctg 1 = π/4 = ∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1); i от 1 до n ∈ ℕ;

∴ π = 4 (∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1)); i от 1 до n ∈ ℕ с точностью до 2/n²

и без корней.

Например можно так посчитать. Мы точно знаем, что арксинус единицы равен π / 2. Раскладываем арксинус в ряд Тейлора, подставляем туда единицу и полученный результат умножаем на два. Число π у нас в кармане.

Расскажу про очень необычный способ определения числа π, о котором мало кто знает. Французский естествоиспытатель 18 века Бюффон провёл на большом листе бумаги параллельные равноотстоящие прямые линии и стал бросать на него случайным образом иголку длиной равной шагу между линиями, подсчитывая число бросаний (N) и число попаданий иголки на одну из линий (N1). Теория вероятностей подсказывает, что в отношении N1/N заложено число π, которое и пытался определить Бюффон столь необычным способом. При закручивании иглы точность повышалась.

Взято из книги "128 советов начинающему программисту" В.Ф.Очков, Ю.В.Пухначёв. - Москва: Энергоатомиздат, 1992. - 256 с. В интернете тоже есть информация на эту тему.