Как студенты, поступившие на платное обучение, переходят на бюджет (как выбирают этих людей, по рейтингу егэ или то как они учатся) ?

Могу вам про Вышку рассказать (Высшая школа экономики, которая). Точнее, не рассказать, ибо много, а ссылкой поделиться, где это подробно описано: Перевод с платного обучения на бесплатное

Про то, на основе чего это осуществляется, - руководствуются оценками в процессе учебы (к тому же, в Вышке каждые полгода составляется публичный рейтинг всех студентов, его тоже берут во внимание) и наличием свободных мест. Но насколько это актуально для других учебных заведений - понятия не имею, как я поняла, этот момент фиксируется во внутренних документах каждого отдельно взятого вуза и экстраполяция здесь бессмысленна.