Коротко - итальянский язык, как и французский, и испанский, и румынский, возник из одного из диалектов народной латыни.
А теперь чуть подробнее.
Давайте начнём с того, что языки постепенно меняются. В первую очередь, меняется произношение (сначала говорили "мОсквич", потом он стал "мАсквичом", а точнее даже "мЪсквичом"), меняется смысл слов ("наверное" у Достоевского ещё значит "совершенно точно"). И эти изменения обычно лишь накапливаются со временем.
Следующий момент - исторический. Вплоть до ХIX века единого итальянского языка не существовало - было много итальянских диалектов: венецианский, неаполитанский, римский итд. Современный итальянский литературный язык возник на основе одного из них. Единой латыни тоже не было, были разные её варианты, причём все они со временем менялись, как сами по себе, так и под влиянием других диалектов - тех, на которых разговаривали соседи, приезжие чиновники или священники, да мало ли кто.
И вот постепенно разные диалекты латыни так далеко ушли от того языка, на котором разговаривал Цезарь, что появился смысл говорить уже о новом языке - итальянском - и его диалектах. Говорить же о том, когда конкретно латынь стала итальянским - это примерно то же, что пытаться решить, в какой именно день человек перестаёт быть ребёнком и становится подростком.
Или то же самое, что, например, проследить, в какой момент обезьяна превратилась в человека.