Какие в ближайшем будущем наиболее перспективные варианты преодоления расстояния в тысячу световых лет?

С самой реалистической точки зрения - никаких.

Если представить гипотетическую ситуацию, в которой мы разгоняемся до околосветовой скорости, время пути для тех, кто будет лететь, составит примерно эти самые 1000 лет. А данная цифра уже закрывает все возможные дискуссии. Да что там, дискуссию с уверенностью закрыла бы цифра, даже в десять раз меньшая. Все-таки, настолько долгосрочные проекты, причем требующие от нескольких поколений людей просто пожертвовать всей своей жизнью в угоду банальной галочке в списке мировых рекордов - это нонсенс. Анабиоз тоже не поможет, ибо проблема будет уже в нас: никто и ни за что не согласится отправить людей куда-то в прекрасное далеко, зная, что связь с ними будет невозможна, и даже узнать о судьбе эксперимента в итоге не получится.

Если не представлять гипотетическую ситуацию, в которой мы разгоняемся до околосветовой скорости, а исходить из текущих возможностей человечества - то указанная цифра из просто неприемлемо большой превращается в такую, о которой вообще нельзя думать всерьез.

Что теоретически спасло бы положение? Сверхсветовое движение. И тут сразу плохие новости: современная физика достаточно обоснованно считает, что в чистом виде оно невозможно.

Теоретически, современную физику можно обхитрить, проводя манипуляции с кривизной нашего пространства. Но тут опять плохие новости: идей насчет практической реализации чего-то вроде "пузыря Алькубьерре" пока нет и не предвидится.

В сколько-нибудь обозримом (тем более, ближайшем) будущем таких вариантов нет. Все, что можно прочесть в СМИ и художественной литературе на эту тему, является фантастикой, не заслуживающей даже названия научной. 

Рассуждать же о том, что будет открыто и станет перспективным через столетия, можно лишь в качестве упражнения для развития фантазии.

Вопрос поставлен некорректно. Преодолевать тысячу световых лет можно уже хоть сейчас - запускай ракету и преодолевай, за несколько миллионов лет глядишь, преодолеешь. Если же хотите 1000 световых лет преодолеть за тысячу лет, или хотя бы тысяч за десять, то в ближайшем будущем (лет 100) - никаких перспектив. Да и в далеком будущем похоже, перспектив тоже нет...