На базе крупных университетов есть buddy-клубы - группы волонтёров, которые помогают адаптироваться в России иностранным студентам, приезжающим по обмену. В Питере, например, Student Union в СПБГУ: https://vk.com/suspb . На самом деле, это очень крутая возможность - ты открываешь для себя другую культуру, практикуешь язык, начинаешь смотреть другими глазами на свой город, когда показываешь его иностранцам. Бонусом ты получаешь отличных друзей по всему миру. Они с радостью зовут к себе в гости - приютят у себя в квартирке, покажут свой город и будут тебе безумно рады. Я вот через неделю еду к своим студентам в Германию, а потом как-нибудь к своим крутым французам в Париж.
Да, AIESEC тоже не стоит сбрасывать со счетов. http://aiesec.ru/ В рамках их программ в Россию приезжает много стажёров-иностранцев, а также можно поехать куда-нибудь поволонтёрить самостоятельно - писать статьи в блог про Марокко, кормить орлов на Филиппинах, учить детей английскому в Китае и ещё куча всего.
Не совсем студенческая организация, но couchsurfing тоже даёт кучу возможностей общаться с иностранцами, многие из которых путешествующие студенты. И это коммьюнити также даёт много приятных бонусов во время путешествий.
Очень активна еще в Питере IAESTE. У них довольно много всего происходит, очень много иностранных студентов приезжают в Петербург, и местный офис организует активности для них, затем наши ребята едут на совместные программы в другие офисы за рубежом.